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與數學思想共舞 與體驗學習同行——人教版四年級下冊《雞兔同籠》體驗學習教學案例

發表日期:2017-10-26 17:40:14   來源:本站   被閱讀[]次



孝感市玉泉小學  陸珍蘭


【教學背景】

成功的教學不僅教會學生知識,而且要教會學生學習,即,不僅要學生“學會”,而且要學生會學,要學生會獨立、主動地去獲取已有知識,會創造性地探索新的知識。要學生“會學”數學,就必須在數學課堂教學中應該滲透數學思想。讓學生在解決問題的過程中能從數學的角度主動運用所學知識和方法尋找解決問題的策略,培養學生解決實際問題的經驗和能力。人教版教材借助我國民間廣為流傳的數學趣題“雞兔同籠”內容就滲透一些重要的數學思想方法,這個問題最早出現在《孫子算經》一書中,對于四年級大多數的學生來說,可能會有一定的難度。不僅需要教師深入思考,怎樣能讓孩子學得有效,真正發揮數學廣角的功效,讓學生不但受到數學思維的訓練,還能培養學生形成有序、嚴密地思考問題的意識?;剮枰淌ψ涔勰?,要讓學生在體驗中學習,并滲透數學思想方法。在運用數學知識和方法解決問題的過程中,了解所學知識之間的聯系,獲得數學活動經驗,認識數學的價值。

【課堂寫真】

1、教學片斷

(一)數學文化的引入

教師:中國是世界上數學歷史最長的國家,我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列,為全世界數學的發展做出了巨大的貢獻。讓我們一起去了解一下吧?。ǘ嗝教宄鍪疽羝到檣芪夜糯艸齙氖幕刪停┱故究翁猓骸敖裼兄賞猛?,上有三十五頭,下有九十四足,問稚兔各有幾何?”

師:同學們,這道題是以文言文的方式表述,哪位同學看懂他的意思了?

學生表述基本正確都要給予肯定,并在此時出示正確意思。(課件展示:籠子里有若干只雞和兔。從上面數,有35個頭,從下面數,有94只腳。雞和兔各有幾只?)

師:現在大家都看懂這道題是什么意思了,這就是著名的“雞兔同籠”問題——板書:數學廣角——雞兔同籠

(設計意圖:從我國古代數學文化到數學趣題直接導入,給數學課堂帶來了濃厚的文化氣息,讓我們的學生感受到我國數學文化的源遠流長,激發了學生的學習熱情。)

教師:你們想不想知道有幾只雞?幾只兔?(想)能一下子說出答案來嗎?為了方便研究我們將數字改小一些,看看能能不從解決這個問題中找到解決古人解決雞兔同籠問題的方法。(課件出示例1)“籠子里有若干只雞和兔。從上面數,有8個頭,從下面數,有26只腳。雞和兔各有幾只?” 誰來讀一讀。

教師:從題中你們能獲取哪些信息?

學生1:雞和兔共8只,雞和兔共有26只腳。

學生2:雞有2只腳,兔有4只腳。

教師:有了這些信息,大家來思考一分鐘,同桌之間可以互相討論,看看你有什么好的方法來解決。

(教學意圖:滲透化繁為簡的思想。雖然同樣是“雞兔同籠”的基本題型,但數量從大到小的轉化,更有利于學生分析數量變化和掌握解題思路。此環節的轉化性設計,正是從學生的角度出發,先由易到難,更快發現數據的變化規律,找到解題方法,并從中巧妙地滲透“轉化”的思想。幫助學生探索出解決該類問題的一般方法后,再解決《孫子算經》中數據較大的原題。這樣處理,可使學生充分體會到從簡單問題入手的必要性,經歷先尋找簡單問題的求解策略,再將其應用到解決較復雜問題的過程,從而使學生初步感受化繁為簡的思想。)

教學片斷2

(二)探究新知

A畫圖法

畫圖要求:

1.用小圓圈表示一個小動物,用l線表示一個小動物的腿。

2.畫的過程中思考:

自己是按什么順序給小動物畫上腿的?怎么畫才又快又準確?

生匯報

教師:你們是一次畫對的嗎?畫錯了你又是如何調整的呢?

生匯報

教師:看來我們在畫圖時還要邊計算邊調整呢,想不想知道電腦老師是怎么畫的。

教師:讓我們一起去看看電腦老師是如何畫一畫的吧?。╬pt展示畫一畫)

方法一:我們先給每只小動物畫上兩只腳,你們有沒有同學是這樣畫的呢?(有,沒有)我們接下來該怎么辦呢?2乘8等于16,還需要添上十條豎線,怎么添?

方法二:首先我們先給每只動物畫上4只腳,一共畫了32只腳,需要調整一下嗎?怎么調整?

教師:同學們我們用畫一畫的方法解決了這個難題,還有其他的方法嗎?

B列表法

教師:如果老師去掉有26條腿這個信息,你們猜猜看可能會有幾只雞幾只兔?

生匯報

教師:同學們列舉了這么多的情況,為了將大家的想法更好地展現出來,老師為大家準備了表格,請看如果有雞有8只兔就是0只,雞有7只兔有1只,后面的你們會填嗎?(會)填的時候一定要注意計算出每種情況下腳的總只數哦,

開始填一填吧。

學生匯報。

教師:老師剛才發現,很多同學都完成得非???,很了不起!那么,同學們,你們覺得用列表法能算出它們的腳數嗎?能找到答案嗎?(可以)

教師:我們用列表法將所用的情況一一列舉出來,一定可以找到答案,這個方法挺好,我們把這種方法叫做列表法。(板書:列表法)但是如果現在有100只雞和兔,你覺得你能找到嗎?這個方法還好用嗎?

生匯報

教師:有沒有更好的方法呢?我們就來嘗試研究一下更簡潔的方法吧。同學們再來觀察自己剛才列的表格,看看這些數量之間是否存在著一些數學規律,請將你的想法跟同組的同學相互交流一下。

學生小組交流匯報。

學生:雞的數量每減少1只,兔的數量就增加1只,腳的數量也跟著增加2只。

學生:兔的數量每減少1只,雞的數量就增加1只,腳的數量反而減少2只。

教師:對,雞的只數從左往右看雞的數量每減少1只,兔的數量就增加1只,腳的數量也跟著增加2只。

教師:還可以怎么觀察?

學生:如果我們從右往左看兔的數量每減少1只,雞的數量就增加1只,腳的數量反而減少2只。

教師:你說的很好,可真會觀察??!

教師:我們一起繼續來看這張表格,通過分析表格來將同學們的想法表述得更加清晰。

(教學意圖:滲透數形結合的思想。讓學生認識、理解、運用假設法是本節課的教學重點,也是教學難點。列表嘗試法雖然繁瑣,但它是解決問題一種重要的策略和方法。讓學生通過列表嘗試的方法初步體驗在總只數不變的情況下,隨著雞(或兔)只數的調整,腳的總數也發生變化,為下面學習假設法和代數法做好鋪墊。本課的重點放在理解假設法的算理上,充分運用直觀和其他手段,如借助畫圖,數形結合,能使學生直觀地理解推理、調整的過程,包括假設法算式中每一步的含義。)

教學片斷3

C假設法

(1)   假設全是雞。

教師:我們先看表格中左起的第一列,8和0是什么意思? 學生:就是有8只雞和0只兔,也就是假設籠子里全是雞。

教師:你們能列出算式嗎?

學生:8×2=16(只)。(如果把兔全當成雞,一共就有8×2=16只腳。)

教師:與題目中的有26只腳這個信息相符合嗎?(不相符合)那籠子里是不是全是雞呢?這也就是把什么當什么來算了?

學生:26-16=10(只)。

教師:10是什么意思?比原來少了還是多了10只腳?(少了)這少算的是誰的腳呢?(兔子的腳)

學生:(把兔看成雞來算,4只腳的兔當成2只腳的雞算,每只兔就少算了2只腳,10只腳是少算的兔的腳數。)

教師:我們是把一只4只腳的兔當成一只2只腳的雞來算的。這樣算會有什么結果呢?

學生:每少算一只兔就會少算2只腳。

教師:少算2只兔呢?少算3只兔呢?所以10里面有幾個2,也就是把幾只兔當成了雞來算,10÷2=5就是兔的只數。

學生:(用雞兔的總只數減去兔的只數就是雞的只數,8-5=3只雞。)

教師:你們弄明白了沒?同桌之間互相說一說看?(請一生匯報)

(2)假設全是兔。

教師:我們再回到表格中,看看右起第一列中的0和8是什么意思?

學生:就是有0只雞和8只兔,也就是假設籠子里全是兔。

教師:籠子里是不是全是兔呢?這個時候是把什么當什么算的? 學生:把里面的雞當成兔來計算的。

教師: 后面的你們會自己列式計算嗎?試試吧。

小結:剛才我們通過假設都是雞或都是兔來解決例1的,所以把這種方法叫做假設法。這是解決“雞兔同籠”問題的一種基本方法,也是算術方法中較為普遍的一般方法。 (板書:假設法)

(教學意圖:滲透數學模型的思想。假設法是先假設是某一種情況或者結果,然后通過推導、驗證來解決問題的方法。在解題活動中,靈活地運用假設法,往往可以使問題化難為易,使解題思路另辟蹊徑,

有利于培養靈活的解題技能。教學時,我在學生通過“觀察表格第一列和最后一列”求出雞和兔子的只數后,進一步提問:“你能用算式把剛才觀察的思路寫出來嗎?問題一出,學生立馬伏案寫起。其實古人的“抬腳法”也是運用了假設法的思想,但是具有局限。理解假設的內涵和問題本身并不矛盾,正確并恰當地運用假設法不僅可以更快地解決問題,還可以為培養學生的創新能力開辟了新途徑。在這里老師以列表嘗試法為基礎,放手讓學生在獨立嘗試的基礎上合作探究,學生從自主嘗試到討論匯報、互動,結合課件的動態演示,巧妙地將學生個人或集體的認知經驗、思維過程轉化為數學語言,從而形成了解決問題的新策略,發展了學生的思維水平,獲得了新的數學思想方法。讓學生享受快樂的學習氛圍。享受成功的喜悅!學會思考,學會自學,通過思維訓練,使學生肯學、肯做、敢做、會做。]

教學片段4

(三)知識運用 學生獨立完成古代趣題。

1、 同學們今天學習了用畫圖法、列表法,假設法解決雞兔同籠問題,相信大家都有所收獲,現在我們回過頭來看看《孫子算經》中那題,大家有沒有信心解決這個問題,請同學們用自己喜歡的方法解決這個問題。

學生解答并集體講評。

教師評價后:你們你想不想知道古人是怎么解決這個問題的?(想)

2、介紹古人的解法(折半法,結合課件介紹)

古人用吹哨子的方法解決了這個問題,第一次吹哨子,一只雞抬起一只腳,一只兔抬起兩只腳,也就是第一聲哨響所有的動物抬起一半的腳,那抬起了多少只腳?地面上立著的腳就剩下(94除以2等于47只)第二聲哨響改變了規則大家要認真聽哦,第二聲哨響每只動物抬起一只腳,也就是35只動物都抬起一只腳,地面上還剩多少只腳呢?(47減35等于12)大家再仔細想想兩聲哨響雞就飛走了,地面上就剩下每一兔子一只腳立在地面上了,所以地面上有幾只腳就有幾只兔。

3、課件出示“做一做1”

師:雞兔同籠問題傳到日本時就變成了“龜鶴問題”,你認為“龜鶴問題”與“雞兔同籠”有什么相似之處?課件出示(龜相當于兔,鶴相當于雞)展示學生作業,并抽生說說思路。

4、師:看來雞兔問題這類問題我們不只局限算雞和兔的只數問題上,只要能用“雞兔同籠”問題來解答的問題都可以統一叫做“雞兔同籠”問題。

(教學意圖:從“雞兔”“龜鶴”問題的過程,作出初步的事物對象的提煉,然后通過其它情境突出數量差異的變化,從而提煉簡單的問題模型。最后,將模型演繹到各種生活現象和問題情境中促進模型的進一步內化,完成模型的建構與應用。)

【分析研究】

在解決“雞兔同籠”問題的方法中,猜測是探究解決此類問題的基礎,列表法則有助于通過有序思考找到問題的答案,假設法則有利于培養學生的邏輯推理能力,切實解決此類問題的一般方法。當然,學生選用哪種方法解決這類問題均可,不強求用某一種方法。

1.讓學生體驗學習問題解決的過程。

雞兔同籠問題,讓學生體驗解決問題的過程,可以采用數形結合,這一方法比較直觀,易學好教,也可采用逐一列表、跳躍列表和折中列表三個層次的列表方法,這種在算的基礎上逐步嘗試、調整的方法,更符合學生的認知規律和解決問題的習慣,這種回歸思維原點、不教也能試的方法,本質就是“逼近”的思想,而“窮舉、列表”又體現了分類的思想。在解題教學中滲透數學思想方法,提高學生的數學素養和能力。解題過程實質上是在化歸思想的指導下,合理聯想。調用一定數學思想方法加工處理題設條件,運用數學思想方法分析解決問題,開拓學生的思維空間,優化解題策略。人教版呈現的三種不同思維層次的方法,蘊藏著不同的數學思想:列表法體現了“分類”的思想,假設法蘊涵著“逼近”思想。在教學中,可從基本的假設法入手,通過例題教學,讓學生掌握用假設法解題的技巧,感悟思想方法,并在解決一些實際問題的練習中進行鞏固。

2.豐富學生解題策略。

通過例題教學展示多種解題策略,并把每種解決方法及時收歸到假設法,從假設的角度去融會貫通。這種處理方法中,如何將其他策略引至假設法是課堂的關鍵。對于畫圖法,可作為理解假設法計算過程的直觀輔助手段,起到數形結合加深理解的作用;對于枚舉列表法,可作為理解假設法的鋪墊材料,因為對列表中雞(或兔)腳數變化規律的掌握,能促進學生對假設法中難點的突破——即對推理和調整過程的理解;對于方程法,本單元還沒有學到,在今后的學習中可作為假設法的另一種形式去理解。

3.有效溝通生活實際問題與“雞兔同籠”問題的聯系。

《義務教育數學課程標準(2011年版)》明確了問題解決能力的培養是數學課程教學的重要目標。問題解決能力的培養體現在幾個領域中的不同數學知識與方法的學習過裎中,貫穿于數學學習的全過程。很多實際問題雖然形式上與“雞兔同籠”問題不同,但在數量關系上卻與“雞兔同籠”問題一致。教學時依據學生的認知能力和思維水平,幫助學生將各種生活中的實際問題與“雞兔同籠”問題溝通起來,有效解決問題。

【資料鏈接】

《義務教育數學課程標準(2011年版)》在“學段目標”的“第二學段”中提出:要使學生“學會與人合作”“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中,發展合情推理能力,能進行有條理的思考,能比較清楚地表達自己的思考過程與結果”“會獨立思考,體會一些數學的基本思想”“能探索分析和解決簡單問題的有效方法,了解解決問題方法的多樣性”“經歷與他人合作交流解決問題的過程,嘗試解釋自己的思考過程”“在運用數學知識和方法解決問題的過程中,認識數學的價值”。

《義務教育數學課程標準(2011年版)》在“課程內容”的“第二學段”中提出:“結合實際情境,體驗發現和提出問題、分析和解決問題的過程”“通過應用和反思,進一步理解所用的知識和方法,了解所學知識之間的聯系,獲得數學活動經驗”。

《義務教育數學課程標準(2011年版)》將數學基本思想作為“四基”之一提出,模型思想作為10個核心概念中唯一一個以“思想”之稱的概念,實際明示它是數學基本思想之一。教學過程中,要幫助學生積累思維的經驗,逐漸形成自己的合理思維方法。

(責任編輯   管菊蕾)


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